Las operaciones más comunes entre magnitudes vectoriales son suma, resta y multiplicación, que son diferentes a las que se realizan con las magnitudes escalares. Estas operaciones pueden realizarse gráficamente o analíticamente.
A continuación se dan algunos ejemplos y las secuencias que se debe de seguir para realizar algunas de las operaciones antes mencionadas.
Métodos gráficos:
Suma:
Método del paralelogramo: Con este método solo se pueden sumar dos vectores la vez y las pasos a seguir son:
1. Se traza uno de los vectores seleccionando un origen.
1. Se traza uno de los vectores seleccionando un origen.
2. A partir del punto de aplicación del vector anterior, se traza el otro vector.
3. Luego se trazan líneas paralelas a los vectores trazados, cuidando que estas pasen por la punta del vector opuesto, es decir, la paralela al primer vector debe pasar por la punta del segundo vector, y la paralela del segundo vector por la punta del primer vector.
4. Hemos construido un paralelogramo y para saber la suma solo es cuestión de trazar el vector resultante, que parte del origen de los vectores hasta donde se cruzan las diagonales trazadas. Su magnitud corresponde a la longitud del vector, la dirección es la línea que pasa por el origen y la intersección de las paralelas, y el sentido es del origen al cruce de las paralelas trazadas.
Método del polígono: Con este método se pueden sumar muchos vectores al mismo tiempo. Los pasos a seguir son:
1. Se traza el primer vector de acuerdo con sus características.
2. Se traza el segundo vector, tomando como origen la punta del vector anteriormente trazado.
3. Se repite el paso dos hasta trazar todos los vectores.
4. Al final tendremos un polígono abierto, y para obtener nuestro vector resultante solo basta trazar un vector del origen del primer vector trazado hasta la punta del último vector. Su magnitud corresponde a la longitud del vector, la dirección es la línea que pasa por el origen del primer vector y la punta del último vector, y el sentido es del origen del primer vector a la punta del último vector trazado.
Resta:
Método del paralelogramo: Con este método solo se pueden restar dos vectores la vez y las pasos a seguir son:
1. Se traza uno de los vectores seleccionando un origen.
2. A partir del punto de aplicación del vector anterior, se traza el otro vector.
3. Luego se traza el vector resultante de la punta de uno de los vectores hacia la punta del otro vector. Su magnitud corresponde a la longitud del vector, la dirección es la línea que pasa por las dos puntas de los vectores, y el sentido es de la punta del primer vector hacia la punta del segundo vector.
Método del polígono: Con este método se pueden restar muchos vectores al mismo tiempo. Los pasos a seguir son los mismos que para la suma, solo se debe tener cuidado de cambiar el sentido a los vectores negativos.
Nota: Si la magnitud de los vectores son muy grandes se pueden graficar a escala, y para el caso del vector resultante se utilizará la misma escala para determinar su magnitud.
Método Analítico:
Este método consiste en separar un vector en sus componentes rectangulares, luego sumarlas para obtener nuestro vector resultante. Será necesario saber un poco de trigonometría para realizar eficazmente la descomposición y composición de los vectores.
Las fórmulas a utilizar son:
V = Magnitud del vector
θ = Ángulo de inclinación del vector
Vx = Componente rectangular en el eje x del vector (componente horizontal)
Vy = Componente rectangular en el eje y del vector (componente vertical)
VxT = Suma de las componentes rectangulares horizontales de los vectores
VyT = Suma de las componentes rectangulares verticales de los vectores
VR = Magnitud del vector resultante
θR = Ángulo de inclinación del vector resultante
Para sumar los vectores se procede de la siguiente manera:
Para sumar los vectores se procede de la siguiente manera:
1. Descomponer todos los vectores en sus componentes rectangulares x (horizontales) y y (verticales).
3. Obtener el vector resultante VR.
4. Obtener la dirección y el sentido mediante el ángulo de inclinación θR.
Problema Ilustratorio:
El siguiente ejercicio es para aclarar el uso de vectores unitarios en este método analítico.
Un auto recorre 20 km hacia el Norte y después 35 km en una dirección 60º al Oeste del Norte. Determine magnitud y dirección del desplazamiento resultante del auto.
Hacemos un diagrama:
Expresando los dos desplazamientos componentes como A y B, indicados en la figura, y usando unitarios, tenemos:
R = A + B. R es el vector resultante buscado, cuya magnitud se denota y cuya dirección puede determinarse calculando el ángulo.
A = 20 km j, (apunta hacia el Norte).
B debemos descomponerlo en componentes x e y (ó i y j )
B = -(35 km)sen60ºi + (35 km)cos60ºj = -30.3 kmi + 17.5 kmj
Luego,
R = 20 kmj - 30.3 kmi + 17.5 kmj = 37.5j - 30.3i.
La magnitud se obtiene de
2 = (37.5km)2 + (30.3km)2 = 48.2 km
La dirección de R la determinaremos calculando el ángulo.
En el triángulo formado por cateto opuesto 30.3 y cateto adyacente 37.5
tg = 30.3/37.5 = arctg(30.3/37.5) = 38.9º.
Para saber más:
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/medellin/nivelacion/uv00004/lecciones/unidades/generalidades/vectores/concepto/index21.htm
http://www.escueladeverano.cl/fisica/verano2001/cinematica2/cin2d02.htm
http://platea.pntic.mec.es/anunezca/UnidDidVectores/indice/indice.htm#reglas
http://www.monografias.com/trabajos64/vector/vector2.shtml
http://www-istp.gsfc.nasa.gov/stargaze/Mvector.htm
Gracias descartes.cnice.mec.es, monografias.com, mathematicsdictionary.com, virtual.unal.edu.c, vitutor.com, kalipedia.com, kalipedia.com, jfinternational.com, youtube.com...
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